Важный инструмент познания мира

Кристиана Руссо

Нередко можно услышать, что математика окружает нас повсюду. И это не преувеличение: сами того не замечая, мы пользуемся ее достижениями постоянно. Так, GPS-навигатор рассчитывает свое положение, измеряя время прихода сигнала от спутников. При засекреченной связи информация шифруется с целью предотвращения ее перехвата. Для создания формата JPEG, в котором хранятся цифровые фотографии, применяется математический алгоритм, позволяющий сжимать изображение: без этой сложной операции размер графических файлов был бы просто огромен.

Поскольку при любой передаче данных неизбежны ошибки, во всех телекоммуникационных сетях, включая сотовую связь и телевидение, используются корректирующие коды. Без них было бы невозможно управлять марсоходами с Земли. Важность математики и ее повсеместное применение обусловили провозглашение Международного дня математики, первый из которых был проведен в 2020 году под темой «Математика повсюду».

Математические науки являются важным инструментом познания мира, помогая нам в понимании происходящих на планете процессов и в организации человеческого общества. Это осознал еще Галилео Галилей, который писал в своем трактате 1623 года, что Вселенная — это книга, написанная на языке математики. Сегодня, четыре столетия спустя, перед человечеством стоит целый ряд неотложных экологических проблем. По прогнозам ООН, население Земли, которое в ноябре 2022 года достигло 8 миллиардов человек, в будущем должно установиться на отметке в 11 миллиардов. В то же время, в результате изменения климата урожайность сельскохозяйственных культур падает.

День экологического долга — то есть день, когда человечество истрачивает весь объем возобновляемых ресурсов, которые планета способна восстановить за год — наступает все раньше. Если в 1970 году он был зафиксирован в конце декабря, то в 2021 году этот рубеж был пройден 29 июля. В стремлении решить эти задачи международное сообщество сформулировало Цели в области устойчивого развития на период до 2030 года, и математическим наукам отводится первостепенная роль в их достижении.

Моделирование климата заключается в построении уравнений, описывающих взаимодействие разнообразных климатических факторов: солнца, атмосферы, парниковых газов, Мирового океана, почв, ледников, растительных систем и пр. На основе собираемых о них данных ученые пытаются прогнозировать изменения климатических систем, и в этом им помогает математика. Для моделирования систем и выявления тенденций нужны мощные вычислительные возможности, высокоэффективные алгоритмы и оптимальное использование данных. Эта работа предполагает определение как основных долгосрочных тенденций, так и тенденций в регионах.

При этом важно с точностью рассчитать величину допустимой погрешности. Существуют методы получения более точных метеопрогнозов и выявления сезонных тенденций. Польза таких прогнозов очевидна, особенно с учетом того, что изменение климата приводит к повышению частотности и силы экстремальных погодных явлений.

Впечатляющих результатов удалось добиться в прогнозировании траектории движения ураганов, которую ученые научились предугадывать почти на неделю вперед. Лучшее понимание рисков позволяет лучше к ним подготовиться и защитить себя от возможных последствий на десятилетия вперед. Прогнозирование помогает получить ответы на целый ряд вопросов: какой высоты должна быть дамба, потребуется ли вновь отстраивать или перемещать целый район из-за наводнения, как часто засухи будут лишать население воды, какие подходы к градостроительству могут помочь легче переносить периоды аномальной жары и многое другое.

В основе прогнозирования лежит математическое моделирование, т. е. создание упрощенной модели реальности. Адекватная модель позволяет увидеть общую картину, не отвлекаясь на детали. К примеру, в моделировании эпидемий используется ряд моделей, простейшая из которых получила название «модель SIR». Все люди в ней делятся на три категории: восприимчивые, т. е. подверженные риску заражения (англ. Susceptible), инфицированные (Infected) и выбывшие (Removed), т. е. выздоровевшие или скончавшиеся.

В основе этой модели лежит базовое правило, описывающее переход людей из одной группы в другую за сутки. С ее помощью можно вычислить изменения численности каждой группы для длительных промежутков времени.

Несмотря на упрощенность, модель SIR позволяет выявить основные параметры эпидемии, такие как экспоненциальный рост, пик заболеваемости, развитие коллективного иммунитета, выравнивание кривой суммарного числа случаев заражения (оранжевая линия) и базовая скорость репродукции, определяемая как среднее число индивидуумов, которых заразит заболевший, и характеризующая заразность инфекционного заболевания. 

Эти параметры позволяют ответственным лицам оценивать ход эпидемии. Модель SIR может быть усовершенствована. К примеру, базовое правило, в соответствии с которым ситуация в группах меняется каждые сутки, может быть скорректировано с учетом санитарных мер или появления более заразных вариантов. Кроме того, категории людей могут быть далее подразделены в соответствии с возрастом, социальным статусом, полом, причиной выбывания (выздоровление или смерть) и т. д.

Еще одна важная область применения математики — оптимизация. Как лучше организовать работу транспорта и доставку почты или товаров? Каким должно быть расписание поездов, чтобы облегчить пересадку, минимизировать число составов и оптимизировать график работы персонала? Это касается и городского общественного транспорта, и авиакомпаний. Такого рода вопросы, решением которых занимается научное направление под названием исследование операций, могут показаться простыми, однако число возможных ответов на них слишком высоко для того, чтобы искать наилучший вариант методом проб и ошибок.

Поиск оптимальных вариантов требует разработки сложных и высокоэффективных алгоритмов. Такие же методы применяются в сфере экологических преобразований, когда необходимо добиться более рационального потребления ресурсов. Каким образом экономить энергию и воду, сократить объемы пищевых отходов и использовать ограниченные ресурсы максимально эффективно и с соблюдением принципов устойчивого развития? В решении всех этих задач важную роль также играет математика.

Искусственный интеллект (ИИ) — еще одна область применения математики и статистики. Недавний прорыв в этой сфере связан с тем, что мы научились программировать компьютеры и роботов так, чтобы научить их учиться. Компьютер учат распознавать кошку так же, как это делает человек. Для этого необходимо показать ему сотни тысяч изображений и исправлять допускаемые им ошибки. По мере обучения компьютер совершенствует свою программу и учится узнавать кошку даже в новых ракурсах. Таким образом, в отношении распознавания образов и звуков ИИ добивается поразительных результатов и ни в чем не уступает человеку.

Сфера применения ИИ расширяется с каждым днем. Например, его можно использовать для низкобюджетного составления так называемых карт бедности на основе спутниковых изображений, находящихся в открытом доступе. На снимках, сделанных в дневное время, видна построенная человеком инфраструктура. Сравнивая эти снимки с ночными фотографиями той же местности, можно выявить жилые, но не освещаемые в темное время суток районы — признак бедности населения. В полузасушливых регионах на севере Кении искусственный интеллект также используется для предотвращения дефицита воды: посредством обработки данных выявляются регионы с высокой вероятностью возникновения нехватки воды и вырабатываются стратегии по смягчению ее последствий.

Таким образом, математические науки дают нам в руки богатый набор инструментов с широчайшими возможностями применения, и можно с полной уверенностью утверждать, что математика действительно окружает нас повсюду.